การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

(Simple Harmonic Motion)

  การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค หรือที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบ S.H.M เป็นลักษณะการเคลื่อนที่แบบกลับไปกลับมา  เช่นการสั่นของสปริง การแกว่งของชิงช้า   หรือลูกตุ้มนาฬิกา เป็นต้น

         พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค (S.H.M)

 

                        

                                                           (ก)                                                           (ข)

               จากภาพจะเห็นว่าเมื่อวัตถุสีเหลืองเคลื่อนที่เป็นวงกลม  เงาของวัตถุบนฉากจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงกลับไป   กลับมา เรียกการเคลื่อนที่แบบซ้ำรอยเดิมนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก (Simple Harmonic Motion)  หรือ   การเคลื่อนที่แบบ S.H.M

ความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

         ให้มวล    เคลื่อนที่ในแนวระนาบ     เป็นวงกลมรัศมี    ด้วยอัตราเชิงเส้นมุม(  ) รอบจุดศูนย์กลาง  เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ได้คือ  ซึ่ง  
              

         พิจารณามวล   ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม เงาที่ปรากฎในแนวแกน และแกน   จะเคลื่อนที่แบบ ซิมเปิลฮาร์โมนิค หรือ แบบ S.H.M

         
  
                      

         จะได้การกระจัดในแนวแกนY  ดังนี้

       เมื่อนำ ไปเขียนกราฟการกระจัด-เวลา ของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค จะได้กราฟดังนี้

         

          

•  จากสมการ  
•  เมื่อ  
• ค่าของการกระจัดของการเคลื่นอที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคจะมีค่ามากที่สุด                              นั่นคือ    หรือ  

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับเวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

          ให้มวล  m  เคลื่อนที่ในแนวระนาบ    เป็นวงกลมรัศมี  R  ด้วยอัตราเชิงเส้นมุม(  ) รอบจุดศูนย์กลางเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ได้คือ R    พิจารณามวล  m   ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม เงาที่ปรากฎในแนวแกน x  และแกน  y   จะเคลื่อนที่แบบ ซิมเปิลฮาร์โมนิค หรือ แบบ S.H.M

 

        ณ เวลา  t    มวล  m  มีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว  Vo   ซึ่งสามารถแตกให้อยู่ในองค์ประกอบของการเคลื่อนที่ในแนวแกน  y       ได้ดังนี้

                                                          

               จาก
                      

      

         เมื่อนำสมการ           ไปเขียนกราฟระหว่างความเร็ว-เวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคจะได้กราฟ (ดังรูป)

 

                                       ค่าความเร็วของS.H.M  มีค่ามากที่สุด       

       

                                                    

         

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งกับเวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค
  
            เมื่อมวลเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี  R จะมีความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง  แตกความเร่งให้อยู่ในแนวแกน XY ซึ่งจะเป็นความเร่งของการเคลื่อนที่แบบ S.H.M

  

   

พิจารณาความเร่งในแนวแกน Y

  

         เมื่อนำสมการ     ไปเขียนกราฟระหว่างความเร็ว-เวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคจะได้

การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดปลายสปริง

Simple Harmonic in Spring   

  

          

              เมื่อสปริงถูกยืดออกมาจากตำแหน่งสมดุล เป็นระยะกระจัด X เมื่อปล่อยมวล m จะถูกดึงกลับด้วยแรงนำกลับ  F = -kx    (ตามกฏของฮุค) มีเครื่องหมายเป็นลบ เพราะแรงมีทิศสวนทางกับการกระจัด

จากกฏข้อที่ 2ของนิวตัน                        F =  ma                  .......................(1)

จากกฏของฮุค                                    F  =  -kx                    .........................(2)

(1) = (2)                                                        a  =  -kx/m

a  =  ความเร่ง 

  

ซิมเปิลฮาร์โมนิคในเส้นเชือก  

        

        

         

 






                         
                            

     

วีดีโอการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

โจทย์ปัญหา

1. ข้อใดไม่ใช่ลักษณะการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก
ก. ทิศของความเร่งเข้าสู่จุดสมดุลตลอดเวลา
ข. แรงที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แปรตามการกระจัด
ค. มีความเร็วสูงสุด ณ จุดสมดุล
ง. คาบของการเคลื่อนที่ขึ้นอยู่กับแอมปลิจูด

เฉลย ข.


2.ในการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก ข้อความในข้อใดผิด
ก. วัตถุมีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่ความเร็วเป็นศูนย์เมื่อมีการกระจัดมากสุด โดยมีแอมปลิจูดคงที่
ข. วัตถุมีความเร็วมากที่สุด เมื่อการกระจัดและความเร่งเป็นศูนย์
ค. เฟสของการกระจัดและความเร่งต่างกัน เรเดียน
ง. แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุมีทิศตรงกันข้ามกับการกระจัดของวัตถุจากตำแหน่ง สมดุล

เฉลย ค.

3. ข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกต้องสำหรับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก
1. เมื่อวัตถุมีการกระจัดมากที่สุด ความเร่งวัตถุจะมีค่าน้อยที่สุด
2. แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุมีค่ามากที่สุด เมื่อวัตถุมีอัตราเร็วน้อยที่สุด
3. ถ้าแอมปลิจูดของการสั่นลดลง ความถี่ของการสั่นจะสูงขึ้น
4. ถ้ามวลของวัตถุมีค่ามากขึ้น คาบของวัตถุก็มากขึ้นด้วย
ก. 1 และ 2 ข. 2 และ 3 ค. 2 และ 4 ง. 1 และ 4

เฉลย ง.


4. มวลผูกติดกับสปริงเบาแล้วดึงให้สปริงยืดออก 5 cm แล้วปล่อยให้สั่นแบบซิมเปิลฮาร์โมนิก ด้วยความถี่ 10 rad/s จงหาว่าเมื่อมวลเคลื่อนที่ผ่านจุดสมดุล มวลจะมีอัตราเร็วเชิงเส้นเท่าใด
ก. 0.5 m/s ข. 3.14 m/s ค.6.28 m/s ง. 5. m/s

เฉลย ค.


5. แขวนมวล 30 กรัม ติดกับปลายสปริงเบาที่มีค่านิจสปริง (k) = 100 N/m เมื่อดึงมวลออกมาให้ห่างจาก สมดุล 20 cm แล้วปล่อยให้แกว่งแบบฮาร์โมนิก จงหา ความถี่เชิงมุมของการสั่น
ก. 0.57 rad/s ข. 1.82 rad/s ค. 18.2 rad/s ง. 57.7 rad/s

เฉลย ง.


6.วัตถุหนึ่งสั่นแบบซิมเปิลฮาร์โมนิกด้วยความ ถี่ 70 Hz และอัมปลิจูด 0.03 cm จงหาความเร่งสูงสุด และอัตราเร็วสูงสุดของวัตถุนี้
ก. 58.03 m/s2 ; 0.132 m/s ข. 49.39 m/s2 ; 0.132 m/s
ค. 58.03 m/s2 ; 0.341 m/s ง. 49.39 m/s2 ; 0.341 m/s

เฉลย ข.


7. จงคำนวณหาความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) ณ ตำแหน่งซึ่งนาฬิกาลูกตุ้มยาว 150.3 cm แกว่งครบ 100 รอบในเวลา 246.7 s
ก. g = 9.75 m/s2 ข. g = 9.81 m/s2
ค. g = 9.98 m/s2 ง. g = 10.2 m/s2

เฉลย ข.


8. นาฬิกาโบราณเรือนหนึ่ง อาศัยหลักการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาเป็นเครื่องบอกเวลา ถ้านำนาฬิกาเรือนนี้ ไปไว้ที่ดวงจันทร์ ซึ่งพบว่า ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของดวงจันทร์มีค่าเป็น 1/6 เท่าของความเร่งเนื่องจาก แรงโน้มถ่วงของโลก จงหาว่า นาฬิกาจะตีบอกเวลา 1 ชั่วโมง จะต้องใช้เวลาจริงๆ เท่าไร
ก. 1 ชั่วโมงเท่าเดิม ข. 1.45 ชั่วโมง ค. 2 ชั่วโมง ง. 2.45 ชั่วโมง

เฉลย ง.