การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

(Simple Harmonic Motion)

  การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค หรือที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบ S.H.M เป็นลักษณะการเคลื่อนที่แบบกลับไปกลับมา  เช่นการสั่นของสปริง การแกว่งของชิงช้า   หรือลูกตุ้มนาฬิกา เป็นต้น

         พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค (S.H.M)

 

                        

                                                           (ก)                                                           (ข)

               จากภาพจะเห็นว่าเมื่อวัตถุสีเหลืองเคลื่อนที่เป็นวงกลม  เงาของวัตถุบนฉากจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงกลับไป   กลับมา เรียกการเคลื่อนที่แบบซ้ำรอยเดิมนี้ว่า การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก (Simple Harmonic Motion)  หรือ   การเคลื่อนที่แบบ S.H.M

ความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

         ให้มวล    เคลื่อนที่ในแนวระนาบ     เป็นวงกลมรัศมี    ด้วยอัตราเชิงเส้นมุม(  ) รอบจุดศูนย์กลาง  เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ได้คือ  ซึ่ง  
              

         พิจารณามวล   ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม เงาที่ปรากฎในแนวแกน และแกน   จะเคลื่อนที่แบบ ซิมเปิลฮาร์โมนิค หรือ แบบ S.H.M

         
  
                      

         จะได้การกระจัดในแนวแกนY  ดังนี้

       เมื่อนำ ไปเขียนกราฟการกระจัด-เวลา ของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค จะได้กราฟดังนี้

         

          

•  จากสมการ  
•  เมื่อ  
• ค่าของการกระจัดของการเคลื่นอที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคจะมีค่ามากที่สุด                              นั่นคือ    หรือ  

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับเวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

          ให้มวล  m  เคลื่อนที่ในแนวระนาบ    เป็นวงกลมรัศมี  R  ด้วยอัตราเชิงเส้นมุม(  ) รอบจุดศูนย์กลางเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ได้คือ R    พิจารณามวล  m   ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม เงาที่ปรากฎในแนวแกน x  และแกน  y   จะเคลื่อนที่แบบ ซิมเปิลฮาร์โมนิค หรือ แบบ S.H.M

 

        ณ เวลา  t    มวล  m  มีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว  Vo   ซึ่งสามารถแตกให้อยู่ในองค์ประกอบของการเคลื่อนที่ในแนวแกน  y       ได้ดังนี้

                                                          

               จาก
                      

      

         เมื่อนำสมการ           ไปเขียนกราฟระหว่างความเร็ว-เวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคจะได้กราฟ (ดังรูป)

 

                                       ค่าความเร็วของS.H.M  มีค่ามากที่สุด       

       

                                                    

         

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งกับเวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค
  
            เมื่อมวลเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี  R จะมีความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง  แตกความเร่งให้อยู่ในแนวแกน XY ซึ่งจะเป็นความเร่งของการเคลื่อนที่แบบ S.H.M

  

   

พิจารณาความเร่งในแนวแกน Y

  

         เมื่อนำสมการ     ไปเขียนกราฟระหว่างความเร็ว-เวลาของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคจะได้

การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดปลายสปริง

Simple Harmonic in Spring   

  

          

              เมื่อสปริงถูกยืดออกมาจากตำแหน่งสมดุล เป็นระยะกระจัด X เมื่อปล่อยมวล m จะถูกดึงกลับด้วยแรงนำกลับ  F = -kx    (ตามกฏของฮุค) มีเครื่องหมายเป็นลบ เพราะแรงมีทิศสวนทางกับการกระจัด

จากกฏข้อที่ 2ของนิวตัน                        F =  ma                  .......................(1)

จากกฏของฮุค                                    F  =  -kx                    .........................(2)

(1) = (2)                                                        a  =  -kx/m

a  =  ความเร่ง 

  

ซิมเปิลฮาร์โมนิคในเส้นเชือก  

        

        

         

 






                         
                            

     

วีดีโอการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค

โจทย์ปัญหา

1. ข้อใดไม่ใช่ลักษณะการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก
ก. ทิศของความเร่งเข้าสู่จุดสมดุลตลอดเวลา
ข. แรงที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แปรตามการกระจัด
ค. มีความเร็วสูงสุด ณ จุดสมดุล
ง. คาบของการเคลื่อนที่ขึ้นอยู่กับแอมปลิจูด

เฉลย ข.


2.ในการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก ข้อความในข้อใดผิด
ก. วัตถุมีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่ความเร็วเป็นศูนย์เมื่อมีการกระจัดมากสุด โดยมีแอมปลิจูดคงที่
ข. วัตถุมีความเร็วมากที่สุด เมื่อการกระจัดและความเร่งเป็นศูนย์
ค. เฟสของการกระจัดและความเร่งต่างกัน เรเดียน
ง. แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุมีทิศตรงกันข้ามกับการกระจัดของวัตถุจากตำแหน่ง สมดุล

เฉลย ค.

3. ข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกต้องสำหรับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก
1. เมื่อวัตถุมีการกระจัดมากที่สุด ความเร่งวัตถุจะมีค่าน้อยที่สุด
2. แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุมีค่ามากที่สุด เมื่อวัตถุมีอัตราเร็วน้อยที่สุด
3. ถ้าแอมปลิจูดของการสั่นลดลง ความถี่ของการสั่นจะสูงขึ้น
4. ถ้ามวลของวัตถุมีค่ามากขึ้น คาบของวัตถุก็มากขึ้นด้วย
ก. 1 และ 2 ข. 2 และ 3 ค. 2 และ 4 ง. 1 และ 4

เฉลย ง.


4. มวลผูกติดกับสปริงเบาแล้วดึงให้สปริงยืดออก 5 cm แล้วปล่อยให้สั่นแบบซิมเปิลฮาร์โมนิก ด้วยความถี่ 10 rad/s จงหาว่าเมื่อมวลเคลื่อนที่ผ่านจุดสมดุล มวลจะมีอัตราเร็วเชิงเส้นเท่าใด
ก. 0.5 m/s ข. 3.14 m/s ค.6.28 m/s ง. 5. m/s

เฉลย ค.


5. แขวนมวล 30 กรัม ติดกับปลายสปริงเบาที่มีค่านิจสปริง (k) = 100 N/m เมื่อดึงมวลออกมาให้ห่างจาก สมดุล 20 cm แล้วปล่อยให้แกว่งแบบฮาร์โมนิก จงหา ความถี่เชิงมุมของการสั่น
ก. 0.57 rad/s ข. 1.82 rad/s ค. 18.2 rad/s ง. 57.7 rad/s

เฉลย ง.


6.วัตถุหนึ่งสั่นแบบซิมเปิลฮาร์โมนิกด้วยความ ถี่ 70 Hz และอัมปลิจูด 0.03 cm จงหาความเร่งสูงสุด และอัตราเร็วสูงสุดของวัตถุนี้
ก. 58.03 m/s2 ; 0.132 m/s ข. 49.39 m/s2 ; 0.132 m/s
ค. 58.03 m/s2 ; 0.341 m/s ง. 49.39 m/s2 ; 0.341 m/s

เฉลย ข.


7. จงคำนวณหาความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) ณ ตำแหน่งซึ่งนาฬิกาลูกตุ้มยาว 150.3 cm แกว่งครบ 100 รอบในเวลา 246.7 s
ก. g = 9.75 m/s2 ข. g = 9.81 m/s2
ค. g = 9.98 m/s2 ง. g = 10.2 m/s2

เฉลย ข.


8. นาฬิกาโบราณเรือนหนึ่ง อาศัยหลักการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาเป็นเครื่องบอกเวลา ถ้านำนาฬิกาเรือนนี้ ไปไว้ที่ดวงจันทร์ ซึ่งพบว่า ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของดวงจันทร์มีค่าเป็น 1/6 เท่าของความเร่งเนื่องจาก แรงโน้มถ่วงของโลก จงหาว่า นาฬิกาจะตีบอกเวลา 1 ชั่วโมง จะต้องใช้เวลาจริงๆ เท่าไร
ก. 1 ชั่วโมงเท่าเดิม ข. 1.45 ชั่วโมง ค. 2 ชั่วโมง ง. 2.45 ชั่วโมง

เฉลย ง.

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม บนระนาบใดๆ อัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุจะคงที่หรือไม่ก็ได้ แต่ความเร็วของวัตถุไม่คงที่แน่นอน เนื่องจากว่ามีการเปลี่ยนทิศาทางของการเคลื่อนที่ ตลอดเวลา ซึ่งเมื่อวัตถุที่มีการเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่แสดงว่า วัตถุนี้ต้องมีองค์ประกอบของแรงมากระทำในทิศทางที่ตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ด้วย และกรณีที่การเคลื่อนที่มีอัตราเร็วไม่คงที่ แสดงว่าต้องมีองค์ประกอบของแรงในทิศทางที่ขนานกับแนวการเคลื่อนที่ด้วย พิจารณา รูป

 

    การเคลื่อนที่แบบวงกลมจัดเป็นหนึ่งในการเคลื่อนที่แบบ 2 มิติ ในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่ 

 จะทำการศึกษานั้น ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะมีค่าคงที่หรือเท่ากันตลอดการเคลื่อนที่

 เรียกการเคลื่อนที่วงกลมแบบนี้ว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ (Uniform Circular Motion)

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุจะมี  แรงกระทำตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเสมอตลอดการเคลื่อนที่ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนววงกลม แต่ยังคงมีความเร่งเกิดขึ้น ซึ่งความเร่งจะขึ้นกับการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว ซึ่งเวกเตอร์ความเร็วจะมีทิศสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศตั้งฉากกับแนวรัศมีวงกลม เรียกความเร่งชนิดนี้ว่า ความเร่งแนวสัมผัสวงกลม ( a_T)  

เวกเตอร์ความเร่งในการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะมีทิศตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางวงกลมเสมอ เราเรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง  (a_c )

  

 

 

คาบ (T)  คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หรือ วินาทีต่อรอบ (s)

                    ความถี่  (f) คือ จำนวนรอบที่เคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ รอบต่อวินาที  (Hz)

        เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ คาบ และความถี่จะมีค่าคงที่ โดยคาบและความถี่สัมพันธ์กันโดย

 

             อัตราเร็วเชิงเส้น (v)   คือ ระยะทางตามแนวเส้นรอบวงของวงกลมที่วัตถุเคลื่อนที่ได้

                                                ในหนึ่งหน่วยเวลา ( m/s)

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง        วัตถุที่เคลื่อนที่ เป็นวงกลมจะเกิดความเร่ง 2 แนว คือ ความเร็วแนวเส้นสัมผัสวงกลม และความเร่งแนวรัศมีหรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง            ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ เช่น วงกลมในแนวระนาบ

จะเกิดความเร่งสู่ศูนย์กลางเพียงแนวเดียว            การที่วัตถุมีอัตราเร็วเท่าเดิม แต่ทิศทางเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ย่อมหมายความว่า ต้องมีความเร็วอื่นมาเกี่ยวข้องด้วย ความเร็วที่มาเกี่ยวข้องนี้จะพิสูจน์ได้ว่า มีทิศทางเข้าสู่จุดศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ และความเร็วนี้เมื่อเทียบกับเวลาจะเป็นความเร่งซึ่งมีค่า          .................................................................................

การหาแรงที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลม

จากกฎการเคลื่อนที่ ข้อที่สองของนิวตัน และการเคลื่อนที่แบบวงกลม แรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุกับความเร่งของวัตถุจะมีทิศทางเดียวกัน คือทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า .................................................................................

อัตราเร็วเชิงมุม (Angular speed)

อัตราเร็วของวัตถุที่ เคลื่อนที่แบบวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้นคือความยาวของเส้นโค้งที่วัตถุเคลื่อน ที่ได้ในเวลา 1 วินาที ซึ่งเราอาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า อัตราเร็วเชิงเส้น (v)            แต่ในที่นี้ยังมีอัตราเร็วอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นการบอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมที่จุดศูนย์กลาง เนื่องจากการกวาดไปของรัศมี ใน 1 วินาที เรียกว่า อัตราเร็วเชิงมุม (w) อ่านว่า โอเมก้า นิยามอัตราเชิงมุม (w) คือ มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 วินาทีมีหน่วยเป็น เรเดียน/วินาที           การบอกมุมนอกจากจะมีหน่วยเป็นองศาแล้ว ยังอาจใช้หน่วยเป็นเรเดียน (radian) โดยมีนิยามว่า มุม 1 เรเดียน มีค่าเท่ากับมุมที่จุดศุนย์กลางของวงกลม ซึ่งมีเส้นโค้งรองรับมุมยาวเท่ากับรัศมี หรือกล่าวได้ว่ามุมในหน่วยเรเดียน คือ อัตราส่วนระหว่างส่วนเส้นโค้งที่รองรับมุมกับรัศมีของวงกลม            ถ้า a คือ ความยาวองส่วนโค้งที่รองรับมุม            r   คือ รัศมีของส่วนโค้ง           q  คือ มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นเรเดียน

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมในหน่วยองศากับเรเดียน

เมื่อพิจารณาวงกลม พบว่ามุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับ 360 องศา โดยส่วนโค้งที่รองรับมุมก็คือเส้นรอบวงนั้นเอง

ดังนั้น สรุปได้ว่า มุม 360 องศา เทียบเท่ากับมุม 2p เรเดียน เมื่อพิจารณาวัตถุเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ครบ 1 รอบพอดี      ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชิงเส้น (v) และอัตราเร็วเชิงมุม (w) การเคลื่อนที่ในแนวราบ ตัวอย่างการเกิดการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ              เชือกเบายาว L ปลายข้างหนึ่งติดวัตถุมวล m อีกปลายตรึงแน่นแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ รัศมี r ด้วยอัตราเร็วคงที่ v และเชื่อกทำมุม q กับแนวระดับดังรูป                 ขณะมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ ได้รับแรงกระทำ 2 แรงคือ แรงตึงเชือกและน้ำหนังของวัตถุ เมื่อแตกแรงต่าง ๆ แล้วจะได้          พิจารณาลูกกลมโลหะ ซึ่งเคลื่อนที่ตามรางเรียบรูปวงกลมในแนวดิ่ง   โดยเคลื่อนที่รอบด้านในของวงกลม เส้นทางการเคลื่อนที่ของ   ลูกกลมโลหะจะเป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง ทุก ๆ ตำแหน่งที่ลูกกลมโหละจะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลาง เพื่อเปลี่ยนทิศทางความเร็วของลูกกลมโลหะ   ให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางนี้เกิดจากรางออกแรงดันลูกกลมโลหะ ซึ่งเป็นแรงปฏิกิริยาของรางที่โต้ตอบกับแรงที่ลูกกลมโลหะ ออกแรงดันราง และแรงสู่ศูนย์กลางบางช่วงจะมาจากแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อลูกกลมโลหะ  ............................................................................               ในกรณีลูกกลมโลหะมวล m อยู่ ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางที่มีรัศมีความโค้ง r  ให้แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในแนวตั้งฉากกับผิวของรางเท่ากับ F และแรงที่โลกดึงดูดลูกกลม คือ mg แรงลัพธ์ของแรงทั้งสองคือ แรงสู่ศูนย์กลาง                ถ้าลูกกลมอยู่ ณ ตำแหน่งสูงสุด จะได้     การเคลื่อนที่บนทางโค้ง                 ขณะรถเลี้ยวโค้ง บนถนนโค้งราบ ซึ่งมีแนวทางการเคลื่อนที่ เป็นส่วนโค้งของวงกลมดังรูป ดังนั้นต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุ           เมื่อพิจารณาแรงกระทำต่อรถในแนวระดับพบว่าขณะรถเลี้ยว พยายามไถลออกจากโค้ง จึงมีแรงเสียดทาน ที่พื้นกระทำต่อล้อรถในทิศทาง พุ่งเข้าในแนวผ่านศูนย์กลางความโค้ง ดังนั้น แรงเสียดทาน = แรงสู่ศูนย์กลาง   ถ้ารถเลี้ยวด้วยอัตราเร็วสูงสุดได้ปลอดภัย                                     ........................................................................................................... การหามุมเอียงของรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยว           ขณะเลี้ยวรถแรงกระทำต่อ รถมี mg, N และ f ซึ่งแรง N และ f รวมกันได้ เป็นแรงลัพธ์ R C.M. จะก่อให้เกิดโมเมนต์ ทำให้รถคว่ำขณะเลี้ยวดังรูป ถ้าไม่ต้องการให้รถคว่ำต้องเอียงรถ ให้จุดศูนย์กลางของมวล ผ่านแนวแรง R ขณะเลี้ยว รถจึงเลี้ยวได้โดยปลอดภัยไม่พลิกคว่ำดังรูป                      รูปแสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์ขณะเลี้ยวบนถนนโค้งราบ               ถ้าเลี้ยวรถรถด้วยอัตราเร็วสูงสุด พบว่า                  ไม่ว่ารถจักรยานยนต์เลี้ยวโค้งแล้วเอียงรถ หรือ รถจักรยานยนต์ เลี้ยวโค้งบนพื้นเอียงลื่น มุม q ที่เกิดจากการเอียงของทั้งสองกรณีคือมุมเดียวกัน ใช้สูตรเดียวกันคือ

ตัวอย่างการเคลื่อนที่

 

โจทย์ปัญหาการเคลื่อนที่แบบวงกลม

ตัวอย่าง 1 ใน การแกว่งชุดการเคลื่อนที่ในแนววงกลม ด้วยอัตราเร็วคงที่ในแนวระดับ ปรากฎว่าเชือกทำมุม 30 องศา กับแนวระดับตลอดเวลา ถ้าน้ำหนักของขอเกี่ยวและนอตที่ใช้มีค่า 1 นิวตัน จงหาแรงสู่ศูนย์กลาง และความเร่งของวัตถุที่ปลายเชือก

แนวคิด เขียนรูป 1. วัตถุที่ปลายเชือกเคลื่อนที่แบบวงกลม
                       2.  ขอเกี่ยวและนอตสมดุล
                       3. ใส่แรงกระทำต่อวัตถุ และขอเกี่ยวกับนอต

 
           จากรูป พิจารณาที่ขอเกี่ยว เราพบว่า
                  
                      

            พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวระดับ (แกน x)

               
           พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง (แกน y)

                       
           หาความเร่งสู่ศูนย์กลางจาก

                    
ดังนั้น  แรงสู่ศูนย์กลางมีค่า 0.866 นิวตัน และความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุมีค่า 17.32 เมตรต่อวินาที²







ตัวอย่าง 2 จาก รูปวัตถุมวล 0.2 กิโลกรัมผูกปลายเชือกยาว 2 เมตร แล้วแกว่งเป็นวงกลมสม่ำเสมอในระนาบระดับ ถ้าเชือกทำมุม 37 องศากับแนวดิ่งตลอดเวลา อยากทราบว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่าใด

 
แนวคิด เขียนรูปแสดงองค์ประกอบของแรงที่กระทำต่อวัตถุ ดังภาพ
           พิจารณาในแนวระดับ (แกน x)
            
                            
                              XXXXXXXX(1)
พิจารณาในแนวดิ่ง (แกน y)

                       XXXXXXXXXX(2)
(1)/(2)  จะได้

                     
 จากรูปเราพบว่า  ดังนั้น
                                                         
 

ดังนั้น วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 2.5 เรเดียนต่อวินาที